חיפוש

חיבור וחיסור שברים אלגברים

כל השיטות לחיבור וחיסור של שברים אלגברים! הסברים מפורטים, דוגמאות ועשרות תרגילים הכוללים פתרונות! פישוט ביטויים ותבניות מספר. חיבור שברים שהמכנה שלהם הוא חד איבר או רב איבר.

 
ארז כהן
חיבור וחיסור שברים אלגבריים שבמכנים שלהם יש רק חד איברים

 

חיבור וחיסור שברים אלגברים שבמכנים שלהם יש רק מספרים:

בדומה לחיבור וחיסור של שברים פשוטים, גם במקרה של חיבור וחיסור שברים אלגברים צריך למצוא מכנה משותף, רצוי למצוא את המכנה המשותף הקטן ביותר (המינימלי ).

בחיבור וחיסור של שברים אלגברים נבחין בין שני סוגים של שברים:

א.     שברים שבמכנים שלהם יש רק חד איברים. כלומר הקשר בין המספרים והאותיות שבמכנים הוא רק ע"י כפל

ב.      שברים שבמכנים שלהם יש גם רב איברים, כלומר הקשר בין המספרים והאותיות שבמכנים הוא גם ע"י חיבור וחיסור.

 

נתחיל בסוג הראשון וגם כאן נבחין בין שני סוגים של שברים:

1.      שברים שבמכנים שלהם יש רק מספרים.

2.      שברים שבמכנים שלהם יש מספרים וגם אותיות.

 

שברים שבמכנים שלהם יש רק מספרים:

נגדיר: כפולה משותפת מינימלית של כמה מספרים טבעיים נתונים היא המספר הטבעי הקטן ביותר שמתחלק ללא שארית בכל אחד מהמספרים הטבעיים הנתונים.

 

לדוגמא: הכפולה המשותפת המינימלית של 2 ו-3 היא 6. למעשה גם כל אחד מאינסוף המספרים המתחלקים ב-6 ללא שארית, כמו: 12 , 18 , 24 וכו', היא כפולה משותפת של 2 ו- 3 אבל היא לא הכפולה המשותפת המינימלית.

 

דוגמאות:

א.     פשט את תבנית המספר: .

נשים לב שמתקיים  וכן מתקיים . כלומר המכנים הם 1 , 6 ו- 4.

המכנה המשותף המינימלי של 1 ,6 ו- 4. לכן את המונה והמכנה של  נכפול פי 12

( כי   ). את המונה והמכנה של  נכפול פי 2 ( כי  ) ואת המונה   והמכנה של  נכפול פי 3 ( כי  ). נסמן מעל לכל שבר פי כמה צריך להגדיל את המונה והמכנה שלו

כלומר להרחיב אותו. לאחר מכן נכנס איברים דומים במונה. בסה"כ נקבל:

 

            .

 

הערה: להבדיל מפתרון משוואות עם שברים כאן אין אפשרות לכפול את כל התבנית פי המכנה המשותף והוא נשאר גם בתשובה הסופית.

 

ב.      פשט את תבנית המספר: .

המכנה המשותף המינמלי של 5 ו- 10 הוא 10. את המונה והמכנה של השבר השמאלי נכפול פי 2. נשים לב שסימן מינוס לפני קו שבר הוא כמו סימן מינוס לפני סוגריים. נקבל:  

.

 

ג.       פשט את תבנית המספר: .

המכנה המשותף הקטן ביותר של 6 ו-15 הוא 30. לאחר כינוס איברים במונה ופירוקו לגורמים ע"י הוצאת גורם משותף נוכל לצמצם. בסה"כ נקבל:

 

שברים שבמכנים שלהם יש מספרים וגם אותיות:

נעבור למקרה שהמכנים של השברים האלגבריים הם איברים שיש בהם גם מספרים וגם אותיות. הקשר בין המספרים והאותיות הוא ע"י פעולות כפל בלבד

 

דוגמאות:

מצא את הכפולה המשותפת המינימלית של הביטויים הבאים:

 

א.     מצא את הכפולה המשותפת המינימלית של:.

הכפולה המשותפת המינימלית של המספרים 4 , 2, ו-8 היא 8. הכפולה המשותפת המינימלית של  ,  ו- היא . לכן הכפולה המשותפת המינימלית של  ,  ו-  היא .

 

ב.      מצא את הכפולה המשותפת המינימלית של:.

הכפולה המשותפת המינימלית של המספרים 4 ו-6 היא 12. הכפולה המשותפת המינימלית של האותיות  ו-  היא . לכן הכפולה המשותפת המינימלית של   ו-   היא .

 

 

ג.       חשב את: .

המכנה המשותף המינימלי של המספרים 6 ו- 3 הוא 6. המכנה המשותף המינימלי של  האותיות   ו-  הוא . לכן המכנה המשותף המינימלי הוא . את המונה והמכנה של השבר השמאלי צריך להגדיל פי 2 (כי ). את המונה והמכנה של השבר הימני צריך להגדיל פי (כי (. סה"כ נקבל:

   

 

ד.      חשב את: .

המכנה המשותף המינימלי למספרים הוא 2. המכנה המשותף המינימלי לאותיות הוא . לכן המכנה המשותף המינימלי הוא . את המונה והמכנה של השבר השמאלי נכפול פי   ( ). את המונה והמכנה של השבר האמצעי נכפול פי  (). את המונה והמכנה של השבר הימני נכפול פי 2 (). סה"כ נקבל:

                    .

 

נסה לבד!!!!! מצא את הכפולה המשותפת המינימלית של הביטויים הבאים:

תרגילים:

1. .                        2. .                 3. .

4. .                 5. .                     6. .

7. .                      8. .                           9. .

10. .                     11. .                         12. .

תשובות:

1.                2.         3.         4.             5.            6.

7.             8.        9.       10.      11.         12.

 

חיבור וחיסור שברים אלגברים שבמכנים שלהם יש גם רב איברים:

קודם נלמד למצוא מכנה משותף למכנים עם רב איברים.

 

דוגמאות:

מצא את הכפולה המשותפת המינימלית של הביטויים הבאים:

 

א.      מצא את הכפולה המשותפת המינימלית של: .

במקרה זה אין אפשרות לפרק לגורמים. הכפולה המשותפת המינימלית היא  שים לב: הכפולה המשותפת המינימלית של  ו-  היא  אבל הכפולה המשותפת של  ו-  היא  ולא .

 

ב.    מצא את הכפולה המשותפת המינימלית של:

הגורם מופיע ב-  וגם ב-, לכן הכפולה המשותפת המינימלית היא  .

 

ג.     מצא את הכפולה המשותפת המינימלית של: .

הפירוק לגורמים של  הוא . הפירוק לגורמים של  הוא . לכן הכפולה המשותפת המינימלית היא .

 

ד.    מצא את הכפולה המשותפת המינימלית של: .

הפירוק לגורמים של  הוא . הפירוק לגורמים של  הוא

      . לכן הכפולה המשותפת המינימלית של   ו-  היא .

 

ה.   מצא את הכפולה המשותפת המינימלית של: .

      הפירוק לגורמים של   הוא  . הפירוק לגורמים של   

     הוא . הגורם  נמצא עם מעריך 2  לכן הכפולה המשותפת המינימלית היא            .

 

ו.      מצא את הכפולה המשותפת המינימלית של: .

     הפירוק לגורמים של  הוא . הפירוק לגורמים של

     עפ"י הפירוק של תלת איבר ריבועי הוא . לכן הכפולה המשותפת

     המינימלית היא .

 

אחרי שאנחנו יודעים למצא מכנה משותף לרב איברים נראה מספר דוגמאות לכינוס שברים אלגבריים עם מכנים כאלה.

 

דוגמאות:

א.   פשט וכנס את תבנית המספר: .

      המכנה המשותף המינימלי הוא . את השבר השמאלי נרחיב פי  

       ואת השבר הימני נרחיב פי .  נקבל:

     

 

ב.    פשט וכנס את תבנית המספר: .

     נשים לב שהמכנה של השבר הימני הוא הנגדי של המכנה של השבר השמאלי. לכן כדי לקבל את     אותו המכנה, נהפוך את הסימן שלפני השבר הימני ונהפוך את הסימנים של האיברים שנמצאים           במכנה שלו. בצורה כזאת לא נשנה את השבר. נקבל:                                                                                                                 

 

ג.     פשט וכנס את תבנית המספר: .

      עפ"י דוגמא א' המכנה המשותף המינימלי של  ו-  הוא  את השבר                 השמאלי נרחיב פי  ( כי  ). את השבר הימני נרחיב פי 2 ( כי  ). בשלב                      לפני האחרון נצמצם ב- . בסה"כ נקבל:

                    .

 

 

 

 

 

ד.    פשט וכנס את תבנית המספר: .

     הפירוק לגורמים של המכנה השמאלי הוא  וזהו המכנה המשותף המינימלי. נקבל:   

     

 

ה.   פשט וכנס את תבנית המספר: .

     המכנה המשותף המינימלי הוא . נקבל:

         

 

ו.      פשט וכנס את תבנית המספר: .

     הפירוק לגורמים של המכנה האמצעי הוא  וזהו המכנה המשותף המינימלי. נקבל:

     

 

תרגילים:

מצא את הכפולה המשותפת המינימלית:

1. .                            2. .                      3. .

4. .                            5. .                    6. .

7. .               8. .              9. .

10. .               11. .        12. .               

13. .                      14. .                  15. .                    

16. .                       17. .                  18. .

19. .         20. .                                                              21. .                             22. .                                                     23. .                      24. .                                                       25. .                26. .                                                             27. .                          28. .                                              29. .              30. .                                                          31. .                  32. .                                                          33. .                          34. .                    35..

 

פתרונות:

1.                        2.                   .3                   4.

5.                       6.                   7.       8.

9.                     10.               11.                         12.

13.                     14.                   15.                            16.

17.               18.      19.         20.

21.                         22.        23.              24.

25.                    26.          27.                 28.

29.               30.       31.            32.

33.             34.

35.

 

תרגילים:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

 

תשובות:

1.                                          2.                               3.

4.                         5.                                    6.

7.                                        8.                                9.

10.                                            11.                             12.

13.                                    14.       

15.                          16.                                        17.                         

18.                                      19.                              20.                             

21.                          22.            23.         

24.

25.                                 26.                                27.

28.                    29.                                   30.

31.              32.                                     33.     

34.                                            35.                                            36.

37.                          38.                              39.

40.                    41.                     42.

43.                 44.            45.

46.                    47.                48.

49.                             50.                   51.

52.         53.          54.

55.                                    56.         57.

58.          59.                     60.

61.                62.        63.

64.                   65.                   66.

67.                                         68.

 

 

 

נכתב ע"י

 

לסיכום זה התפרסמו 0 תגובות

עליך להירשם/להתחבר כדי להזין תגובות.
הרשמה / התחברות

פורומים

  • בגרות במתמטיקה 804 - הפורום בחסות אנקורי

  • בגרות במתמטיקה 803 - הפורום בחסות אנקורי

  • בגרות במתמטיקה 802 - הפורום בחסות אנקורי

  • בגרות במתמטיקה 801 - הפורום בחסות אנקורי

  • בגרות במתמטיקה 007 - הפורום בחסות אנקורי

  • בגרות במתמטיקה 006 - הפורום בחסות אנקורי

  • בגרות במתמטיקה 005 - הפורום בחסות אנקורי

  • פורום בגרויות

  • בגרות במתמטיקה 001 - הפורום בחסות אנקורי