חיפוש

משוואה ממעלה ראשונה בנעלם אחד

הסברים חינם, עשרות תרגילים חינם!! משוואה ממעלה ראשונה בנעלם אחד

 
ארז כהן-
משוואה ממעלה ראשונה בנעלם אחד

 

משוואה – תבנית פסוק עם סימן שיווין נקראת משוואה.

 

השיטה לפתרון משוואות:

הדרך הכללית לפתרון משוואה היא לעבור ע"י כמה צעדים מהמשוואה הנתונה למשוואה  פשוטה יותר השקולה לה. המשוואה הפשוטה ביותר היא משוואה שבאגף אחד שלה מופיע המשתנה ( הנעלם ) ובאגף השני שלה מופיע מספר.

 

השלבים הם:

א.     " העברת " כל הביטויים המכילים את הנעלם לאגף אחד ואת כל המספרים לאגף שני תוך כדי שינוי הסימנים שלהם.

ב.      כינוס איברים דומים בכל אחד מהאגפים.

ג.       מציאת הנעלם מהמשוואה המפורשת המתקבלת.

 

דוגמאות:

פתור את המשוואות הבאות:

 

א.     פתור את המשוואה:

נחבר 3 לשני אגפי המשוואה. נסמן את הפעולה בעזרת קו נטוי. נקבל:

 

כלומר פתרון המשוואה הוא

 

ב.      פתור את המשוואה:

נחלק את שני האגפים ב- 4 ונקבל:    לכן .

 

ג.       פתור את המשוואה:

נעביר את  מאגף ימין לאגף שמאל ואת 13 מאגף שמאל לאגף ימין ונהפוך את סימניהם.

נקבל:

ד.      פתור את המשוואה:

נרכז את כל הביטויים עם  באגף שמאל ואת כל המספרים באגף ימין. לא לשכוח שכאשר מעבירים אגפים משנים את הסימנים.

             נקבל:                    

             נכנס איברים:                                      

             נחלק את שני האגפים ב- 9 ונקבל:              

 

ה.     פתור את המשוואה:

             נפתח תחילה סוגריים, עפ"י חוק הפילוג, בשני האגפים:

                                      

             נמשיך כרגיל:                   

                                                     

                                                                    

                                                                        

 

ו.        פתור את המשוואה:

נפתח תחילה את הסוגריים הפנימיים  

נכנס איברים בתוך הסוגריים החיצוניים        

נפתח את הסוגריים החיצונים                       

נעביר אגפים                                                            

והפתרון                                                                       

 

ז.        פתור את המשוואה:

נפתח סוגריים ונקבל:            

נעביר אגפים ונקבל:             

  ו-  מתבטלים, לכן                  

והפתרון:                                                  

 

ח.     פתור את המשוואה:

נקבל:                

נכנס                         

ומכאן   ולכן 

ט.     פתור את המשוואה :

המכנה המשותף המינימלי של המספרים 3 , 4 ו- 6  הוא 12. נכפול את כל המשוואה פי 12. נסמן מעל לכל שבר פי כמה צריך להגדיל את המונה שלו, כלומר פי כמה צריך להרחיב את השבר. בניגוד לפעולת כינוס בשברים אלגבריים שבהם המכנה המשותף נשאר, במשוואות המכנים אחרי פעולת ההרחבה נעלמים!!!! סה"כ נקבל:  

 

י.        פתור את המשוואה :

המכנה המשותף המינימלי של המספרים 5 ,10 ו-2 הוא 10. נכפול את כל המשוואה פי 10 ונזכור שקו שבר הוא כמו סוגריים. סה"כ נקבל: 

 

יא.   פתור את המשוואה :

             המכנה המשותף המינימלי של  , ו- 6  הוא . נכפול את כל המשוואה פי . סה"כ נקבל:

הערה: קבוצת ההצבה של המשוואה היא  והפתרון שקיבלנו איננו מאפס אף מכנה במשוואה המקורית.

יב.   פתור את המשוואה :

המכנה המשותף של  ו-  הוא .  לכן נכפול את כל המשוואה פי . סה"כ נקבל:

             גם הפעם הפתרון איננו מאפס אף אחד מהמכנים. קבוצת ההצבה .

 

משוואות ללא פתרון ומשוואות עם אינסוף פתרונות:

בד"כ למשוואות מהמעלה הראשונה שפתרנו עד כה היה בדיוק פתרון אחד. בסעיף זה נדון במשוואות מיוחדות משני סוגים:

א.     משוואות שאין להן פתרון – כלומר לא קיים מספר שהצבתו במשוואה תיתן פסוק אמת. קבוצת האמת היא הקבוצה הריקה. ( הסימון  ).

ב.      משוואות שיש להן אינסוף פתרונות -  כלומר קיימים אינסוף מספרים שהצבתם במשוואה תיתן פסוק אמת.

 

דוגמאות:

פתור את המשוואות הבאות:

 

א.     פתור את המשוואה:

אם נרכז את כל הביטויים עם  באגף  שמאל ואת כל המספרים באגף ימין

נקבל:. כלומר  וזה לא ייתכן.

מסקנה: למשוואה זו אין פתרון, כלומר לא קיים מספר שהצבתו במקום   בשני אגפי המשוואה תגרום לכך ששני אגפי המשוואה יהיו שווים זה לזה.

 

ב.      פתור את המשוואה:

לאחר העברת אגפים נקבל  . אם נכנס איברים נקבל 0=0 וזה תמיד נכון.מסקנה: למשוואה זו יש אינסוף פתרונות. במקרה זה הצבתו של כל מספר במקום  תגרום לכך ששני אגפי המשוואה יהיו שווים זה לזה. כלומר הפתרון הוא: כל .

 

 

 

 

פתרון משוואות עם משתנה במכנה בעזרת פירוק לגורמים:

השלבים בפתרון המשוואות:

א.     מציאת המכנה המשותף המינימלי של כל השברים שבמשוואה. כדי לעשות זאת נעזרים בפירוק לגורמים במידת הצורך.

ב.      הכפלת כל המשוואה  פי המכנה המשותף המינימלי וסימון מעל לכל שבר פי כמה מרחיבים אותו.

ג.       פתרון המשוואה  שמתקבלת ללא השברים.

ד.      בדיקה האם הפתרון או הפתרונות שייכים לקבוצת ההצבה של המשוואה. פתרון שאיננו שייך לקבוצת ההצבה הוא איננו פתרון של המשוואה ויש לבטלו.

 

דוגמאות:

פתור את המשוואות הבאות:

 

א.     פתור את המשוואה :

כאן אין אפשרות לפרק לגורמים את המכנים ולכן המכנה המשותף המינימלי הוא .

נכפול את כל המשוואה פי המכנה הנ"ל ונקבל :

המשוואה ללא שברים שמתקבלת היא:

נפתח סוגריים ונקבל: , לכן

והפתרון .

קבוצת ההצבה של המשוואה היא  ,  כלומר הפתרון  לא מאפס את אף אחד מהמכנים של המשוואה ולכן זהו פתרון המשוואה.

 

ב.      פתור את המשוואה :

נפרק לגורמים את המכנים ונקבל , , . לכן המכנה המשותף מינימלי הוא . נכפול את כל המשוואה פי המכנה הנ"ל ונקבל:

המשוואה היא , ז"א  ולכן .

קבוצת ההצבה של המשוואה היא  , . והפתרון  תקין.

 

 

ג.       פתור את המשוואה :

הפירוק לגורמים הוא , , . לכן המכנה המשותף המינימלי הוא

. נכפול את כל המשוואה פי המכנה הנ"ל ונקבל:

מכאן   לכן  והפתרון .

הפתרון לא מאפס אף אחד מהמכנים ולכן זהו פתרון המשוואה.

 

ד.      פתור את המשוואה:

הפרוק לגורמים של המכנים הוא  ו- . לכן המכנה המשותף המינימלי הוא . נקבל:

מכאן  והפתרון . הפתרון לא מאפס  אף אחד מהמכנים.

 

ה.     פתור את המשוואה :

הפירוק לגורמים של המכנה  הוא  וזהו המכנה המשותף המינימלי

בסה"כ נקבל:

מכאן  והפתרון הוא . הפתרון לא מאפס אף אחד מהמכנים.

 

ו.        פתור את המשוואה:

הפעם נפעיל שיקול דעת וקודם ננסה לצמצם !!! הפרוק לגורמים של המונה השמאלי הוא . כלומר המשוואה היא . לכן נוכל לצמצם את השבר שבאגף שמאל ב-  ונקבל . פתרון משוואה זו הוא . הפתרון לא מאפס את המכנה.

הערה: אם היינו קודם מכפילים במכנה המשותף היינו מקבלים פיתרון אלגברי זהה, אבל יותר מסובך. זו דוגמא טובה להפעלת שיקול דעת ולנסות תמיד לפתור בעזרת פתרון אלגברי פשוט שלא מסרבל!!!!

ז.        פתור את המשוואה:

נכפול את המשוואה פי המכנה המשותף המינימלי שהוא . נקבל:

מכאן  ז"א . כלומר קיבלנו משוואה ממעלה שנייה.

בעיה!!!!! איך פותרים משוואה ריבועית......... בעזרת נוסחת השורשים (שנלמד עליה בהמשך). אבל, בכל זאת צריך לפתור!! נהפוך את תלת האיבר הריבועי שהתקבל למכפלה של שני איברים בעזרת פירוק לטרינום ונקבל: .

אפשרות א -  ואז .

אפשרות ב ואז .    מי אמר שצריך נוסחת שורשים???!!!!

נשים לב שהפתרון  מאפס את המכנה של המשוואה המקורית ולכן יש לבטלו.

לסיכום: פתרון המשוואה הוא  בלבד.

 

 

 

תרגילים:

1.                                                   

2.                                    

3.                  

4.                                                                                    

5.                                                                                   

6.                                                                               

7.                                                                 

8.                                                             

9.                                                             

10.                                                                       

11.                            

12.                                               

13.                                                

14.                                                                  

15.                                              

16.                                                     

17.                                                          

18.                                                       

19.                                 

20.                                         

21.                                                       

22.                                                     

23.                                                        

24.                                                                       

25.                                                          

26.                                                 

27.                                           

28.                   

29.                                                                  

30.                                                            

31.                                                                         

32.                                                               

33.                                                                     

34.                                                             

35.                                                                     

36.                                                            

37.                                                         

38.                                                              

39.                                                         

40.                                              

41.                                               

42.                                    

43.              

44.                        

45.               

46.                                                       

47.                                             

48.                                                 

49.                                         

50.                

51.                                            

52.                                     

53.                                                                                        

54.                                                                                      

55.                                                                             

56.                                                                                          

57.                                                                             

58.                                                         

59.                                                                           

60.                                                                          

61.                                                                          

62.                                                                      

63.                                                          

64.                                             

65.                                

66.                                                                      

67.                                                           

68.                                                                

69.                                                        

70.                                           

71.                                

72.                                                                  

73.                                                          

74.                      

75.                                                   

76.                                       

77.               

78.                                                          

79.                                              

80.                                                       

 

נכתב ע"י

 

לסיכום זה התפרסמו 0 תגובות

עליך להירשם/להתחבר כדי להזין תגובות.
הרשמה / התחברות

פורומים

  • בגרות במתמטיקה 804 - הפורום בחסות אנקורי

  • בגרות במתמטיקה 803 - הפורום בחסות אנקורי

  • בגרות במתמטיקה 802 - הפורום בחסות אנקורי

  • בגרות במתמטיקה 801 - הפורום בחסות אנקורי

  • בגרות במתמטיקה 007 - הפורום בחסות אנקורי

  • בגרות במתמטיקה 006 - הפורום בחסות אנקורי

  • בגרות במתמטיקה 005 - הפורום בחסות אנקורי

  • פורום בגרויות

  • בגרות במתמטיקה 001 - הפורום בחסות אנקורי

מי שקרא קרא גם: